Opções de estoque binomial

Modelo Binomial de Preços de Opção.

Qual é o "modelo de preço da opção Binomial"

O modelo de precificação de opção binomial é um método de avaliação de opções desenvolvido em 1979. O modelo de preço de opção binomial usa um procedimento iterativo, permitindo a especificação de nós, ou pontos no tempo, durante o período entre a data de avaliação e a data de validade da opção. O modelo reduz as possibilidades de mudanças de preços e remove a possibilidade de arbitragem. Um exemplo simplificado de uma árvore binomial pode parecer algo assim:

BREAKING Down 'Binomial Option Price Model'

Exemplo de Preços Binomiais.

Um exemplo simplificado de uma árvore binomial tem apenas um passo de tempo. Suponha que haja uma ação com preço de US $ 100 por ação. Em um mês, o preço deste estoque aumentará em US $ 10 ou diminuirá em US $ 10, criando esta situação:

Preço das ações = $ 100.

Preço do estoque (acima do estado) = $ 110.

Preço das ações (baixo estado) = $ 90.

Em seguida, suponha que haja uma opção de compra disponível neste estoque que expira em um mês e tenha um preço de exercício de US $ 100. No estado ascendente, esta opção de chamada vale US $ 10, e no estado descendente, vale US $ 0. O modelo binomial pode calcular qual o preço da opção de chamada que deve ser hoje. Para fins de simplificação, suponha que um investidor adquira metade do estoque de ações e escreva, ou vende, uma opção de compra. O investimento total hoje é o preço de metade de uma ação, menos o preço da opção, e os possíveis retornos no final do mês são:

Custo hoje = $ 50 - preço da opção.

Valor do portfólio (estado superior) = $ 55 - máximo ($ 110 - $ 100, 0) = $ 45.

Valor da carteira (baixo estado) = $ 45 - max ($ 90 - $ 100, 0) = $ 45.

O retorno da carteira é igual, não importa como o preço das ações se move. Dado esse resultado, assumindo que não há oportunidades de arbitragem, um investidor deve ganhar a taxa livre de risco ao longo do mês. O custo hoje deve ser igual ao pagamento descontado à taxa livre de risco por um mês. A equação a resolver é assim:

Preço da opção = $ 50 - $ 45 x e ^ (taxa livre de risco x T), onde e é a constante matemática 2.7183.

Assumindo que a taxa livre de risco é de 3% ao ano, e T é igual a 0,0833 (um dividido por 12), então o preço da opção de compra hoje é de US $ 5,11.

Devido à sua estrutura simples e iterativa, o modelo de preço da opção binomial apresenta certas vantagens únicas. Por exemplo, uma vez que fornece um fluxo de avaliações para um derivado para cada nó em um período de tempo, é útil para avaliar derivativos, como opções americanas. Também é muito mais simples do que outros modelos de preços, como o modelo Black-Scholes.

Exemplos para entender o modelo de preço da opção Binomial.

É bastante difícil concordar com o preço exato de qualquer ativo negociável, mesmo hoje em dia. É por isso que os preços das ações continuam mudando constantemente. Na realidade, a empresa dificilmente altera sua avaliação no dia-a-dia, mas o preço das ações e sua valoração mudam a cada segundo. Isso mostra dificilmente alcançar um consenso sobre o preço atual de qualquer bem negociável, o que leva a oportunidades de arbitragem. No entanto, essas oportunidades de arbitragem são de curta duração.

Tudo se resume à avaliação atual - qual é o preço atual atual hoje para uma recompensa futura esperada?

Em um mercado competitivo, para evitar oportunidades de arbitragem, os ativos com estruturas de recompensa idênticas devem ter o mesmo preço. A avaliação das opções tem sido uma tarefa desafiadora e observam-se altas variações nos preços, levando a oportunidades de arbitragem. A Black-Scholes continua a ser um dos modelos mais populares utilizados para opções de preços, mas tem suas próprias limitações. (Para obter mais informações, consulte: Preço das opções). O modelo de preço da opção Binomial é outro método popular usado para opções de preços. Este artigo discute alguns exemplos abrangentes passo a passo e explica o conceito subjacente de risco neutro na aplicação deste modelo. (Para leitura relacionada, veja: Rompendo o modelo Binomial para Valorar uma Opção).

Este artigo assume a familiaridade do usuário com opções e conceitos e termos relacionados.

Suponha que exista uma opção de compra em uma determinada ação cujo preço de mercado atual é de US $ 100. A opção ATM tem um preço de exercício de US $ 100 com prazo até o final de um ano. Existem dois comerciantes, Peter e Paul, que ambos concordam que o preço das ações aumentará para US $ 110 ou cairá para US $ 90 no prazo de um ano. Ambos concordam com os níveis esperados de preços em um determinado período de um ano, mas não concordam com a probabilidade do movimento para cima (e para baixo). Peter acredita que a probabilidade de o preço das ações chegar a US $ 110 é de 60%, enquanto o Paul acredita que é de 40%.

Com base no acima, quem estaria disposto a pagar mais preço pela opção de compra?

Possivelmente Peter, como ele espera uma alta probabilidade do movimento para cima.

Vamos ver os cálculos para verificar e entender isso. Os dois ativos em que depende a avaliação são a opção de compra e o estoque subjacente. Existe um acordo entre os participantes de que o preço das ações subjacentes pode passar de US $ 100 para US $ 110 ou US $ 90 no prazo de um ano, e não há outros movimentos de preços possíveis.

Em um mundo livre de arbitragem, se devemos criar um portfólio que inclua esses dois ativos (opção de compra e ações subjacentes), de modo que, independentemente de onde o preço subjacente seja (US $ 110 ou US $ 90), o retorno líquido do portfólio permanece sempre o mesmo . Suponhamos que nós compramos "d" ações de opções subjacentes e de uma chamada curta para criar esse portfólio.

Se o preço for de US $ 110, nossas ações valerão US $ 110 * d e perderemos $ 10 em curto pagamento de chamadas. O valor líquido de nossa carteira será (110d-10).

Se o preço cair para US $ 90, nossas ações valerão US $ 90 * d, e a opção expirará sem valor. O valor líquido de nossa carteira será (90d).

Se queremos que o valor de nossa carteira permaneça o mesmo, independentemente de onde quer que o preço das ações subjacente, o nosso valor de carteira deve permanecer o mesmo em ambos os casos, ou seja:

ou seja, se comprarmos metade de uma parcela (assumindo que as compras fracionárias são possíveis), conseguiremos criar um portfólio de forma que seu valor permaneça o mesmo nos dois estados possíveis dentro do prazo determinado de um ano. (ponto 1)

Esse valor de portfólio, indicado por (90d) ou (110d -10) = 45, é um ano abaixo da linha. Para calcular o valor presente, pode ser descontado pela taxa de retorno livre de risco (assumindo 5%).

= & gt; 90d * exp (-5% * 1 ano) = 45 * 0.9523 = 42.85 = & gt; Valor atual do portfólio.

Como atualmente, a carteira é composta por ½ ação do estoque subjacente (com preço de mercado de US $ 100) e 1 chamada curta, deve ser igual ao valor atual calculado acima, isto é.

= & gt; 1/2 * 100 - 1 * preço de chamada = 42,85.

= & gt; Preço da chamada = $ 7.14, ou seja, o preço da chamada a partir de hoje.

Uma vez que isso se baseia na suposição acima de que o valor do portfólio permanece o mesmo, independentemente de qual o preço subjacente (ponto 1 acima), a probabilidade de mover para cima ou para baixo não desempenha qualquer papel aqui. O portfólio permanece livre de riscos, independentemente dos movimentos de preços subjacentes.

Em ambos os casos (assumido como um movimento para $ 110 e para baixo para $ 90), nossa carteira é neutra ao risco e ganha a taxa de retorno livre de risco.

Assim, ambos os comerciantes, Peter e Paul, estarão dispostos a pagar os mesmos $ 7.14 para esta opção de chamada, independentemente de suas próprias percepções diferentes das probabilidades de movimentos ascendentes (60% e 40%). Suas probabilidades individualmente percebidas não desempenham nenhum papel na avaliação de opções, como se vê a partir do exemplo acima.

Se supor que as probabilidades individuais sejam importantes, haveria oportunidades de arbitragem existentes. No mundo real, tais oportunidades de arbitragem existem com menores diferenciais de preços e desaparecem em curto prazo.

Mas, onde é a volatilidade muito alta em todos esses cálculos, que é um fator importante (e mais sensível) que afeta o preço da opção?

A volatilidade já está incluída pela natureza da definição do problema. Lembre-se de que estamos assumindo dois (e apenas dois - e, portanto, o nome "binômico") dos níveis de preços (US $ 110 e US $ 90). A volatilidade está implícita nessa suposição e, portanto, incluída automaticamente - 10% de qualquer maneira (neste exemplo).

Agora vamos fazer uma verificação de sanidade para ver se nossa abordagem é correta e coerente com os preços de Black-Scholes comumente usados. (Veja: O modelo de avaliação da opção Black-Scholes).

Aqui estão as capturas de tela dos resultados das calculadoras de opções (cortesia da OIC), que combina de perto com nosso valor calculado.

Infelizmente, o mundo real não é tão simples como "apenas dois estados". Existem vários níveis de preços que podem ser alcançados pelo estoque até o momento de expirar.

É possível incluir todos esses níveis múltiplos em nosso modelo de precificação binomial, que é restrito a apenas dois níveis? Sim, é muito possível, e para entender, vamos entrar em algumas matemáticas simples.

Alguns passos de cálculo intermediários são ignorados para mantê-lo resumido e focado nos resultados.

Para prosseguir, vamos generalizar esse problema e solução:

'X' é o preço de mercado atual do estoque e 'X * u' e 'X * d' são os preços futuros para movimentos para cima e para baixo 't' anos depois. Factor 'u' será maior do que 1, pois indica movimento ascendente e 'd' ficará entre 0 e 1. Para o exemplo acima, u = 1.1 e d = 0.9.

Os retornos da opção de chamada são 'P up' e 'P dn' para movimentos para cima e para baixo, no momento do caducidade.

Se construímos um portfólio de ações 's' compradas hoje e curta uma opção de chamada, então depois do tempo 't':

Valor do portfólio em caso de movimento ascendente = s * X * u - P up.

Valor do portfólio em caso de deslocamento = s * X * d - P dn.

Para avaliação semelhante em qualquer caso de mudança de preço,

= & gt; s = (P up - P dn) / (X * (u-d)) = o número. de ações para comprar para portfólio livre de risco.

O valor futuro da carteira no final de 't' anos será.

O valor atual de acima pode ser obtido descontando-o com taxa de retorno livre de risco:

Isso deve coincidir com a participação de carteira de ações 's' a preço X, e o valor de chamada curto 'c', ou seja, a presença atual de (s * X-c) deve ser igual à acima. Resolver para c finalmente dá c como:

SE NÓS CORTARAMOS O PRIMEIRO DE CHAMADAS DEVEM SER ADICIONADOS À PORTFOLIO NÃO SUBTRAÇÃO.

Outra maneira de escrever a equação acima é reorganizando-a da seguinte maneira:

então a equação acima se torna.

Reorganizar a equação em termos de "q" ofereceu uma nova perspectiva.

"Q" agora pode ser interpretado como a probabilidade do movimento ascendente do subjacente (como "q" é associado com P up e "1-q" está associado a P dn). Em geral, a equação acima representa o preço atual da opção, ou seja, o valor descontado da sua recompensa no vencimento.

Como esta probabilidade "q" é diferente da probabilidade de mover para cima ou para baixo do subjacente?

O valor do preço das ações no tempo t = q * X * u + (1-q) * X * d.

Substituindo o valor de q e rearranjando, o preço da ação no tempo t vem.

isto é, neste mundo assumido de dois estados, o preço do estoque simplesmente aumenta por taxa de retorno livre de risco, ou seja, exatamente como um ativo livre de risco e, portanto, permanece independente de qualquer risco. Todos os investidores são indiferentes ao risco sob este modelo, e isso constitui o modelo de risco neutro.

A probabilidade "q" e "(1-q)" são conhecidas como probabilidades de risco neutro e o método de avaliação é conhecido como modelo de avaliação de risco neutro.

O exemplo acima tem um requisito importante: a estrutura de recompensa futura é necessária com precisão (nível $ 110 e $ 90). Na vida real, a clareza sobre os níveis de preços baseados em etapas não é possível; Em vez disso, o preço se move aleatoriamente e pode se estabelecer em vários níveis.

Vamos ampliar o exemplo. Suponha que os níveis de preços em duas etapas são possíveis. Conhecemos os resultados finais do segundo passo e precisamos valorizar a opção hoje (ou seja, na etapa inicial)

Trabalhando para trás, a avaliação do primeiro passo intermediário (em t = 1) pode ser feita usando os resultados finais na etapa dois (t = 2) e, em seguida, usando essa avaliação calculada do primeiro passo (t = 1), a avaliação atual (t = 0) pode ser alcançado usando os cálculos acima.

Para obter o preço das opções no nº. 2, recompensas em 4 e 5 são usadas. Para obter preços para o número. 3, recompensas em 5 e 6 são usadas. Finalmente, os pagamentos calculados em 2 e 3 são usados ​​para obter preços no nº. 1.

Por favor, note que nosso exemplo assume o mesmo fator para mover para cima (e para baixo) em ambos os passos - u (e d) são aplicados de forma combinada.

Aqui está um exemplo de trabalho com cálculos:

Assuma uma opção de venda com preço de exercício $ 110 atualmente negociando em US $ 100 e expirando em um ano. A taxa anual sem risco é de 5%. O preço deverá aumentar 20% e diminuir 15% a cada seis meses.

Vamos estruturar o problema:

Aqui, u = 1,2 e d = 0,85, X = 100, t = 0,5.

usando a fórmula derivada acima, obtemos q = 0,35802832.

valor da opção de venda no ponto 2,

Na condição P upup, o subjacente será = 100 * 1.2 * 1.2 = $ 144 levando a P upup = zero.

Na condição de atualização do P, o subjacente será = 100 * 1.2 * 0.85 = $ 102 levando a P updn = $ 8.

Na condição P dndn, o subjacente será = 100 * 0.85 * 0.85 = $ 72.25 levando a P dndn = $ 37.75.

p 2 = 0.975309912 * (0.35802832 * 0 + (1-0.35802832) * 8) = 5.008970741.

Da mesma forma, p3 = 0,975309912 * (0,35802832 * 8 + (1-0,35802832) * 37,75) = 26,42958924.

E, portanto, valor da opção put, p 1 = 0.975309912 * (0.35802832 * 5.008970741 + (1-0.35802832) * 26.42958924) = $ 18.29.

Da mesma forma, os modelos binomiais permitem quebrar a duração da opção inteira para aprimorar vários passos / níveis refinados. Usando programas de computador ou planilhas pode-se trabalhar para trás um passo de cada vez, para obter o valor atual da opção desejada.

Vamos concluir com mais um exemplo envolvendo três etapas para a avaliação da opção binomial:

Assuma uma opção de venda de tipo europeu, com um prazo de vencimento de 9 meses com preço de exercício de US $ 12 e preço subjacente atual em US $ 10. Assuma taxa livre de risco de 5% para todos os períodos. Assuma cada 3 meses, o preço subjacente pode mover 20% para cima ou para baixo, dando-nos u = 1.2, d = 0.8, t = 0.25 e árvore binomial de 3 etapas.

Os números em vermelho indicam os preços subjacentes, enquanto os que estão em azul indicam a opção de recompensa da venda.

A probabilidade neutra de risco q calcula para 0,531446.

Usando o valor acima de q e valores de retorno em t = 9 meses, os valores correspondentes em t = 6 meses são calculados como:

Além disso, usando esses valores calculados em t = 6, valores em t = 3 e então em t = 0 são:

dando o valor atual da opção de venda como US $ 2,18, o que é bastante próximo ao calculado usando o modelo Black-Scholes (US $ 2,3)

Embora o uso de programas de computador facilite muito esses cálculos intensivos, a previsão de preços futuros continua a ser uma grande limitação de modelos binomiais para preços de opções. Quanto mais finos os intervalos de tempo, mais difícil consegue prever com precisão os retornos no final de cada período. No entanto, a flexibilidade para incorporar mudanças como esperado em diferentes períodos de tempo é uma vantagem acrescida, o que torna adequado para o preço das opções americanas, incluindo avaliações de exercícios antecipados. Os valores calculados usando o modelo binomial coincidem com os calculados a partir de outros modelos comumente usados, como o Black-Scholes, que indica a utilidade e a precisão dos modelos binomiais para o preço das opções. Os modelos de preços binomiais podem ser desenvolvidos de acordo com a preferência de um comerciante e funcionam como uma alternativa à Black-Scholes.

Andrew Gibiansky :: Math & rarr; [Código]

Quinta-feira, 9 de maio de 2013.

Embora a maioria de nós esteja familiarizado com ações no mercado de ações, talvez não estejamos tão familiarizados com os derivados que são negociados em mercados similares. Um tal derivado é chamado de "permissão". As opções são, essencialmente, o direito de comprar ou vender ações a um determinado preço. Esses dois tipos de opções são conhecidos como "pequenas" e "opções de saída", respectivamente. Por exemplo, posso comprar uma opção CALL para AAPL (Apple) com um preço de exercício de $ 430.30 dólares e uma data de vencimento da próxima quarta-feira; Isso significa que, em qualquer momento antes da próxima quarta-feira, posso comprar um estoque da AAPL a esse preço, independentemente do preço do estoque (o preço à vista) atualmente. Se, na próxima quarta-feira, o preço subiu para US $ 450, então eu posso comprar por US $ 430.30 e vender por US $ 450, ganhando assim um grande lucro. Uma opção PUT é semelhante, mas em vez de ser uma aposta no valor crescente, é uma aposta no valor decrescente e permite que você venda uma ação por um preço superior ao preço à vista. As opções são derivados incrivelmente fundamentais, com muitos comerciantes usando exclusivamente opções para suas atividades. Com isso em mente, surge uma pergunta muito natural: dada uma opção, quanto devo estar disposto a pagar para comprar essa opção? O Apple CALL eu descrevi anteriormente um valor de US $ 1 ou US $ 10? Se a Apple subir a US $ 450 é muito provável, então, obviamente, a chamada deve ser mais cara, uma vez que possui um lucro de quase US $ 20. No entanto, se não houver nenhuma chance de a Apple subir acima de $ 430.30, a opção é quase sem valor.

Um algoritmo para opções de preços é conhecido como Modelo Binomial de Preços de Opções (BOPM para abreviar). Assume que as taxas de crescimento contínuo diário para o estoque subjacente são normalmente distribuídas em torno de zero (a média é \ (\ alpha = 0 \)) com alguma variância \ (\ sigma ^ 2 \). Embora essas premissas não sejam verdadeiras, elas são próximas o suficiente para verdade em determinadas circunstâncias para serem úteis.

Em seguida, assumimos que o preço das ações é um processo de tempo discreto com algum timestep \ (\ Delta t \), e que em cada timestep o preço das ações sobe por um fator de \ (u \) ou desce por um fator de \ (d => \). (Uma vez que o aumento de um fator de \ (u \) é um aumento, aplicamos que \ (u \ ge 1 \) e, portanto, \ (d \ in [0, 1] \).) Estes dois fatores provêm do pressuposto de que o preço é um processo Ito com um \ (\ alpha \) de zero. Portanto, podemos calcular os dois fatores a partir da volatilidade do estoque, e vamos \ [\ begin u & amp; = e ^> \\ d & amp; = e ^> \ end \] onde \ (\ sigma \) é o a volatilidade e \ (\ sqrt \) é um fator de ajuste do tempo para escalar a volatilidade pela duração do timestep.

Uma vez que calculamos \ (u \) e \ (d \), podemos, começando no tempo \ (t = 0 \), calcular os preços das ações possíveis às vezes \ (t = k \ Delta t \) para todos \ (k \) a partir de zero e indo para a data de validade da opção. Podemos construir uma árvore com um nó para cada preço de estoque possível em cada timestep, começando por \ (t = 0 \) e \ (S = S_0 \). O próximo timestep \ (t = \ Delta t \) terá então dois nós, um para \ (uS_0 \) e um para \ (dS_0 \). O timestep aftewards para \ (t = 2 \ Delta t \) terá (tecnicamente) quatro nós iguais a \ (u ^ 2S_0 \), \ (udS_0 \), \ (duS_0 \) e \ (d ^ 2S_0 \ ). No entanto, note que \ (ud = du = u \ frac = 1, \) o que significa que podemos colapsar os nós internos em um. Portanto, no tempo \ (t = k \ Delta t \), haverá um total de nós \ (k + 1 \), porque você terá preços iguais a \ (u ^ id ^ S_0 \) para cada \ ( i \ in> \).

Árvore Binomial do modelo de preços das opções.

O objetivo final do modelo de preços de opções binomiais é calcular o preço da opção em cada nó nesta árvore, eventualmente, calcular o valor na raiz da árvore. Começamos por calcular o valor nas folhas. O valor nas folhas é fácil de calcular, já que é simplesmente o valor do exercício. Se nós deixarmos \ (K \) ser o preço de ação da opção e deixar \ (S_n \) ser o valor do estoque no nó dado, então o preço no nó dado será \ [\ begin C & amp; = \ max \ qquad \ text \\ C & amp; = \ max \ qquad \ text \\\ end \] Se as opções de chamada ou de venda não são lucrativas, elas simplesmente terão permissão para expirar sem exercer, e assim terá um preço de zero (será uma opção sem valor). (Você pode verificar isso para uma opção de compra observando que, se o preço da ação for maior do que o preço de exercício, \ (S_n - K \) é positivo, então, se for uma opção de compra, você poderá comprar o ativo para \ (K \) e, em seguida, vendê-lo para \ (S_n \), ganhando assim \ (S_n - K \) em lucro.)

Para prosseguir, precisamos de um método para calcular o preço da opção nos nós internos da árvore do modelo binomial. Para cada nó interno, calculamos o "valor binômico", que é o retorno futuro esperado da opção. Isso é inteiramente lógico, como se a opção tivesse um preço esperado de \ (E [P] \) em um timestep de \ (\ Delta t \), o preço atual é simplesmente igual ao preço com desconto de \ (e ^ E [P] \), onde \ (r \) é a taxa de desconto sem risco. O valor esperado para o preço da opção futura pode ser calculado examinando os nós mais próximos das folhas; se estamos em algum preço de estoque \ (S_i \), então as duas possibilidades de evolução de preços são \ (uS_i \) e \ (dS_i \), e uma vez que estão mais adiante na árvore, já calculamos as opções de preços para esses nós. Portanto, o valor esperado do preço das opções em um timestep é dado por \ (E [P] = pC_ \ text + (1-p) C_ \ text \), onde \ (C_ \ text \) e \ (C_ \ text \) são os preços das opções para os nós correspondentes ao preço das ações subindo ou baixando no timestep e \ (p \) é a probabilidade de o preço das ações subir. Ao escolher a probabilidade \ (p \) para usar, desejamos que \ (X \ sim \ text (n, p) \) simule o movimento Browniano geométrico aleatório de um estoque com volatilidade percentual \ (\ sigma \) e porcentagem de deriva \ (\ mu \). Permitindo dividendos com rendimento dividido \ (q \), esta probabilidade é para ser \ (p = \ frac - d> \). O valor \ [e ^ + (1-p) C_ \ text \ right)>, \: \; p = \ frac - d> \] é conhecido como o valor binomial do nó e é uma relação de recorrência para computar o valor binomial de um nó interno dado o preço de opções de seus filhos mais adiante na árvore. Uma vez que temos um método separado de computação dos preços das folhas, podemos então calcular o valor binomial de qualquer nó na árvore.

Note que, embora possa ser tentador dizer que o valor binomial é o preço das opções, isso pode não ser o caso; em opções de estilo americano (o tipo descrito no início desta publicação), cada nó também tem a opção de exercer a opção, de modo que o preço das opções é o máximo do valor binomial e o lucro obtido exercendo a opção nesse ponto em Tempo. O lucro pode ser avaliado exatamente da mesma maneira que o cálculo das folhas, com dois casos, um para chamada e outro para opções de venda. No entanto, existem opções de estilo europeu, onde o exercício antecipado não é uma opção, então o valor binomial é o preço das opções; Da mesma forma, existem opções de estilo bermudino, onde o exercício inicial é apenas uma opção em alguns nós, e apenas nesses nós você escolhe o máximo do lucro potencial e o valor binomial. Isso demonstra a flexibilidade do modelo de precificação de opções binomiais e conclui a descrição do algoritmo do modelo Binomial Options Pricing Model. É fornecida uma implementação muito perfeita da Python deste algoritmo; embora este algoritmo esteja correto, ele poderia ser acelerado com bastante facilidade para executar em \ (O (N ^ 2) \) em vez de \ (O (2 ^ N) \) tempo através de técnicas de programação dinâmica.

Binomial Options Pricing Model: NaГЇve Python Implementation (download)

Quinta-feira, 9 de maio de 2013 - Publicado em economia.

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Livrar-se da mulher que está falando enquanto os iniciadores egrais estão falando.

Elimine a mulher que fala enquanto os comentadores estão falando. Acho muito irritante ao ponto de me achar muito difícil concentrar-me nos eventos.

Eu sugiro que você volte para o e-mail antigo no yahoo. I Nenhuma lista de contatos, este novo e-mail Yahoo SUGA.

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Deutschland Finanzen Mobile DF iOS 1 idéia España Finanzas Mobile DF iOS 7 ideias Contas Painel 33 ideias Opinião do anúncio 3 ideias Respostas TH 31 ideias Respostas TH 0 idéias Respostas Fórum UV (versão de teste) 10 ideias Austrália Ideias de celebridades 0 Austrália Finanças Mobile Android 0 ideias Austrália Estilo 0 idéias Austrália Yahoo Tech 0 idéias Autos Impacto 2 idéias Aviate 1.513 idéias Canadá Finanças 1.099 ideias Canadá Finanças Mobile Android 0 ideias Canadá Finanças Mobile DF iOS 3 idéias Canadá Finanças Mobile iOS 468 ideias Canadá Homepage 5,113 ideias Canadá Filmes 14 ideias Notícias do Canadá 873 ideias Canadá com segurança 10 idéias Canadá Tela 128 idéias Canadá Clima 94 ideias Canadá Yahoo Beleza 0 idéias Canadá Yahoo Celebrity 10 ideias Canadá Yahoo Finanças 0 ideias Canadá Yahoo Filmes 10 ideias Canadá Yahoo Notícias 0 idéias Canadá Yahoo Estilo 21 idéias Futebol universitário Escolher & # 39; em 112 idéias TV conectada 361 idéias Corp Mail Test 1 1.313 idéias Corp Mail Testing 1.256 idéias Cricket 21 ideias Daily Fantasy 89 ideias Developer Netwo rk 1 ideia Double Down 86 ideias Fantasy Baseball 435 ideias Fantasy Basketball 398 ideias Fantasy Football 704 ideias Fantasy Hockey 344 ideias Fantasy Live Scoring on Matchup and Classical 807 ideias Fantasy Sports Aplicativos Android 1.367 ideias Fantasy Sports iOS Apps 2.112 ideias Finanças 1.217 ideias Finanças - CA 495 idéias Finanças - ideias US 9 Finanças Ideias ChartIQ 440 Finanças Mobile Web 403 idéias Finanças Portfolios 810 idéias Finanças Triagem de ações 35 idéias Finanças Tablet 44 idéias Flickr - Perfil 290 idéias Flickr Android 62 idéias Flickr para Apple TV 25 idéias Flickr Grupos 12 idéias Flickr Interno 0 ideias Flickr iOS Dogfooding 0 idéias Flickr iPad 146 idéias Flickr iPhone 349 ideias Flickr Nova foto Página 8,030 idéias Flickr Pesquisa 0 ideias Alimentação Revistas 0 idéias Jogos 3,147 ideias Mapas globais 1,023 ideias GS Mobile Web 42 idéias Health Pulse 3 ideias Home Page (Android) 1.689 ideias Home Page (iOS) 3.808 ideias Hong Kong Homepage 0 ideias Índia Celebridade 43 ideias Índia Finanças 493 ideias Índia Homepage 1.867 idéias Índia Estilo de vida 173 idéias Índia Filmes 84 idéias Índia Notícias 329 ideias Índia Parceiro Tata 0 idéias Índia Parceiro Portal Tikona 0 idéias Índia com segurança 15 idéias Índia Tela 165 idéias Índia Tempo 30 ideias Índia Yahoo Beleza 0 idéias Índia Yahoo Celebridade 4 idéias Índia Yahoo Finanças 0 ideias Índia Yahoo Movies 16 ideias Índia Yahoo Notícias 0 ideias Índia Yahoo Estilo 14 ideias Indonésia Ideias da celebridade 38 Indonésia Página inicial 1.158 ideias Indonésia Notícias 170 ideias Indonésia com segurança 29 idéias Indonésia Ela 34 ideias Página inicial da Irlanda 90 idéias Jordânia Maktoob Homepage 419 idéias Comentários de mensagens por correio eletrônico 10 ideias Maktoob الطقس مكتوب 5 ideias Maktoob Celebridade 1 ideia Maktoob Entretenimento 10 ideias Maktoob Estilo de vida 0 ideias Maktoob Filmes 2 ideias Maktoob Notícias 182 idéias Maktoob Tela 15 ideias Maktoob Id. de estilo 1 Maktoob ألعاب مكتوب 0 ideias Maktoob شاشة مكتوب 28 ideias Malásia Homepage 17 ideias Malásia Notícias 58 ideias Malásia com segurança 6 ideias Malásia Video 0 ideias Malásia Tempo 1 idéia Merchant Solutions 1 ideia My Yahoo 31,919 ideias Meu Yahoo - backup 1 idéia Meu Yahoo - US 9,176 ideias Meu Yahoo arquivo 314 idéias Novo Correio 10,053 idéias Novo Correio * 3,165 idéias Nova Zelândia Negócios & Finanças 132 idéias Nova Zelândia Página inicial 1.039 idéias Nova Zelândia com segurança 3 idéias Nova Zelândia Tela 0 idéias Notícias do PH ANC 21 ideias Filipinas Celebridade 214 ideias Filipinas Página inicial 8 ideias Filipinas Notícias 123 idéias Filipinas com segurança 12 idéias Filipinas Vídeo 0 idéias Filipinas Tempo 3 idéias Pick N Roll 19 ideias Postmaster 43 ideias Pro Football Pick & # 39; em 103 ideias Retail Pulse 0 idéias Rivais 11 idéias com segurança 165 idéias Tela para idéias iOS 0 Busca extensões 97 idéias Pesquisar Downloads de produto 88 idéias Segurança 497 ideias Experiência de login 79 idéias Singapura Entretenimento 20 idéias Cingapura Finanças 230 idéias Cingapura Página inicial 1.050 idéias Cingapura Notícias 212 idéias Cingapura com segurança 11 idéias Cingapura Tela 19 idéias Cingapura Tempo 4 idéias Cingapura Yahoo Beleza 0 idéias Cingapura Yahoo Ideias da celebridade 4 Cingapura Yahoo Finanças 0 idéias Cingapura Yahoo Filmes 0 idéias Cingapura Yahoo Notícias 0 idéias Singapore Yahoo Style 4 ideas Idéias da celebridade da África do Sul Ideia da África do Sul 374 idéia s África do Sul Notícias 23 ideias Esportes Android 1,534 ideias Esportes CA 34 ideias Esportes iOS 1.025 ideias Esportes Redesign 3.190 ideias SportsReel 6 ideias StatTracker Beta 575 ideias Survival Futebol 81 idéias Taiwan Yahoo 名人 娛樂 0 ideias Taiwan Yahoo 運動 0 ideias Tailândia Safely 2 ideias Toolbar Mail App 216 ideas Toolbar Weather App 72 ideias Tourney Pick & # 39; 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Opções de estoque de preço usando modelo Binomial.

Este exemplo usa o modelo binomial para avaliar uma opção de estoque. O modelo binomial assume que a probabilidade de cada preço possível ao longo do tempo segue uma distribuição binomial. Os valores de preços podem se tornar um ou mais baixo em qualquer curto período de tempo. Traçar esses dois valores ao longo do tempo é conhecido como construir uma árvore binomial. Para obter detalhes sobre o modelo binomial, consulte Preços e análise de derivativos de patrimônio (Caixa de ferramentas financeira).

O exemplo organiza e exibe os dados de entrada e saída em um Microsoft & # x00AE; Excel & # x00AE; folha de cálculo. Spreadsheet Link & # x2122; funções copiar dados para um MATLAB & # x00AE; matriz, calcular preços e retornar dados para a planilha.

Abra o arquivo ExliSamp. xls e selecione a planilha Sheet4. Para obter ajuda para encontrar o arquivo ExliSamp. xls, consulte Instalação.

Esta planilha contém esses intervalos nomeados:

B4: B10 chamado bindata. Duas células em bindata contêm fórmulas:

B7 contém = 5/12.

B8 contém = 1/12.

B15 nomeado asset_tree.

B23 nomeado value_tree.

Este exemplo requer Financial Toolbox & # x2122 ;, Statistics and Machine Learning Toolbox & # x2122 ;, e Optimization Toolbox & # x2122 ;.

Execute a função Spreadsheet Link que copia os dados do recurso para o espaço de trabalho MATLAB clicando duas vezes na célula D5 e pressionando Enter.

Execute a função que calcula os preços binomiais na célula D8.

Copie os dados de preço para a planilha executando as funções nas células D11 e D12.

Os dados na planilha atualizam.

A arca do preço dos ativos contém esses preços:

Período 1 e # 8212; Os preços para cima e para baixo.

Período 2 e # 8212; Os preços up-up, up-down e down-down.

Período 3 e # 8212; Os preços up-up-up, up-up, down-down e down-down-down.

A árvore do valor da opção dá o valor da opção associada para cada nó na árvore de preços. O valor da opção é zero para preços significativamente acima do preço de exercício. Ignore os zeros que correspondem a um zero na arca do preço.

Você pode gerar diferentes preços do binômio alterando os dados no intervalo de células B4: B10 e executando novamente as funções do Spreadsheet Link. Se você aumentar o tempo até a maturidade na célula B7 ou alterar o incremento de tempo na célula B8, amplie as áreas da árvore de saída conforme necessário.

Tópicos relacionados.

Dados do modelo usando regressão e ajuste de curvas Interpolar dados termodinâmicos Traçar fronteira eficiente de carteiras financeiras Mapa Tempo e títulos Fluxos de caixa Preços e análise de derivativos de patrimônio (Caixa de ferramentas financeira) Executando funções de link da planilha.

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modelos matemáticos para preços de opções.

Tag Archives: Binomial Option Pricing Model.

Revisando preços neutros de opções de opções.

Esta é a postagem # 6 no modelo de preço da opção binomial. O objetivo do post # 6:

Post # 6: Revisar a noção de preços neutros em termos de risco. A idéia de preços neutros em termos de risco é que a fórmula binomial de preços das opções pode ser interpretada como um valor esperado com desconto. Em um preço neutro ao risco, o valor da opção em um determinado nó é uma recompensa esperada descontada para a opção calculada usando probabilidades neutras ao risco e o desconto é feito usando a taxa de juros livre de risco. Então o preço da opção é calculado trabalhando para trás do final da árvore binomial para a frente. Embora as probabilidades de risco neutro não sejam as verdadeiras probabilidades dos movimentos ascendentes e descendentes do estoque, o preço das opções usando probabilidades neutras ao risco é o procedimento de preço mais simples e fácil e, mais importante, produz o preço da opção correta. Nesta publicação, examinamos por que esse é o caso.

A fórmula de preço da opção binomial.

Na postagem # 1 no modelo de preço da opção binomial, a seguinte fórmula de preços de opções é derivada (fórmula (4) nessa publicação).

A fórmula tem a aparência de um valor esperado com desconto. O valor esperado refere-se ao resultado dentro dos parênteses, que é o valor esperado do valor da opção (quando o preço da ação aumenta) e o valor da opção (quando o preço da ação cai). O cálculo usa as probabilidades e:

Os valores e a soma para 1 e são positivos (discutidos na postagem # 2 no modelo de preço da opção binomial). Assim, eles podem ser interpretados como probabilidades. O valor dentro dos parênteses em (1) pode assim ser interpretado como o valor esperado da recompensa da opção no próximo período que segue um determinado nó. A fórmula (1) usa a taxa livre de risco para descontar o valor esperado de volta ao nó dado. Usando esta fórmula, o preço da opção é calculado trabalhando para trás do final da árvore binomial para a frente. O uso da fórmula (1) nesta forma recursiva é chamado de preço neutro para risco.

Do ponto de vista computacional, a fórmula (1) é clara. Algo é peculiar sobre o cálculo do valor esperado e o desconto na fórmula (1). O valor esperado é calculado usando e. O que é ? É realmente a probabilidade de o estoque subir? Não há motivos para acreditar que seja a verdadeira probabilidade de um movimento ascendente no preço das ações em um período na árvore binomial. Por que a verdadeira probabilidade de movimento do preço das ações não é usado?

Por outro lado, o valor esperado é contado de um período para o período anterior usando a taxa livre de risco. Nas postagens anteriores no modelo de precificação binomial, vemos que uma opção é equivalente a um investimento de alavancagem no estoque (por exemplo, uma chamada é equivalente a emprestar o valor para financiar parcialmente a compra de ações). Assim, uma opção é mais arriscada do que o estoque. É natural pensar que descontar o valor de uma opção deve ser feito usando a taxa livre de risco e, em vez disso, usar uma taxa de retorno equivalente à opção.

Nosso objetivo nesta publicação é mostrar que a abordagem de preços neutra ao risco produz o mesmo preço de opção do que usar a abordagem mais padrão de usar uma verdadeira probabilidade de um movimento de preço de ações e usar uma taxa de desconto realista. Embora o uso da abordagem mais padrão seja possível, é mais pesado. Assim, a abordagem de preços neutra ao risco é fácil de implementar e produz o preço correto. Não há motivos para não usar preços neutros em risco.

Vejamos a implicação de investir em um mundo neutro em termos de risco. Imagine um mundo onde os investidores são indiferentes entre uma coisa certa e um investimento arriscado, desde que ambos os investimentos tenham o mesmo valor esperado. Por exemplo, um investimento paga US $ 25 com certeza. Outro investimento com provável retorno de US $ 50 ou US $ 0. Ambos os investimentos têm o mesmo valor esperado, mas o segundo é muito mais arriscado. Normalmente, é necessário um prêmio de risco para atrair um investidor com aversão ao risco para manter o segundo investimento. Em um mundo neutro em termos de risco, os investidores são indiferentes entre essas duas opções de investimento. Suponhamos ainda que, em um mundo neutro em termos de risco, os investidores estão dispostos a possuir ativos de risco sem um prêmio de risco, ou seja, ativos de risco, como ações, devem ganhar a taxa livre de risco.

Vamos ver o que acontece quando o estoque é esperado para ganhar com a taxa livre de risco. Assim, o valor de fim de período do estoque é se é o preço inicial da ação. Aqui está a taxa anual sem risco e é o período de um período de anos. Resolvendo na seguinte equação.

produz a seguinte resposta:

que é exatamente a probabilidade neutra de risco de um movimento de estoque acima na fórmula (2) acima. Assim, é a probabilidade de um aumento no preço das ações no cenário em que o estoque deverá ganhar a taxa livre de risco. Esta é a razão pela qual se chama probabilidade de risco neutro de um movimento ascendente no preço das ações. Assim, o procedimento de preços neutro em termos de risco é o método realista para opções de preços em um mundo neutro em termos de risco. Mas não vivemos em um mundo neutro em termos de risco. A maioria dos investidores exigirá um prêmio de risco para suportar riscos. Mostramos que o preço neutro ao risco também é um método realista de preços em um mundo onde os investidores são avessos ao risco.

Quando usamos uma fórmula de preços neutra em termos de risco para opções de preços, não estamos dizendo que todo investidor é neutro em termos de risco. O preço neutro em termos de risco é apenas uma interpretação da fórmula (1). A melhor razão para usá-lo é que ele dá o resultado correto e é muito mais fácil de implementar em comparação com a abordagem mais padrão discutida abaixo.

Suponha que os investidores se preocupem com o risco. Como resultado, queremos calcular um valor esperado de recompensa usando a verdadeira probabilidade de movimentos do preço das ações e usando a taxa esperada de retorno da opção para desconsiderar o valor esperado da recompensa.

Para derivar a verdadeira probabilidade de um movimento de estoque acima, suponha que o retorno esperado continuamente composto no estoque seja. Resolva para na seguinte equação.

produz a seguinte resposta:

Para e para estar entre 0 e 1, a taxa de retorno deve ser compatível com os fatores de movimento do preço das ações e. Especificamente, devemos ter. Dado que sabemos, o retorno esperado do estoque, acabamos de derivar, qual é a probabilidade de o estoque subir. O seguinte é o retorno esperado da opção no próximo período:

O valor de pertence ao próximo período. Portanto, precisamos descontá-lo de volta ao período atual (ou o presente nó na árvore). Diga que a taxa de desconto é. Então, a seguinte equação é satisfeita:

Lembre-se de que um é equivalente à carteira de ações de ações e o montante em empréstimos (isto é chamado de portfólio de replicação). A maquiagem do portfólio de replicação é determinada a partir da idéia de replicação: equacionando os valores das opções e os valores do portfólio de replicação, ou seja, de resolver as seguintes equações. Então, a determinação e não tem nada a ver com ou.

O lado direito de (8) é o retorno esperado do portfólio de replicação. O lado direito é simplesmente a média ponderada do retorno das ações de ações e o montante em empréstimos. Então, pode ser determinado a partir da resolução da equação (8) para. Uma vez que é conhecido, o preço da opção é:

Deixe recapitular a viagem que leva para obter o preço da opção em (10). Assumimos uma taxa esperada de retorno para o estoque em questão, o que leva a uma probabilidade de um movimento ascendente no estoque. A probabilidade real nos permite calcular o valor da opção esperada em (7). Para encontrar a taxa esperada de retorno da opção, tomamos a média ponderada dos retornos do estoque e do empréstimo no portfólio de reposição. Em seguida, a equação (1) fornece o valor descontado do valor da opção esperada.

Uma coisa peculiar acontece no processo de obtenção da resposta em (10). Podemos obter e resolver as equações em (9). Então, teríamos obtido o preço da opção. Fazer isso não exige saber, o retorno esperado do estoque, ou, a probabilidade real de um movimento ascendente no preço das ações. Se o objetivo é obter o preço da opção, as etapas para obter e são redundantes! O último motivo que, e não é necessário, é que o preço da opção em (10) é o mesmo que o preço da opção obtido com o uso de preços neutros em risco, ou seja, a equação (1). Verificamos esse fato na próxima seção. Então examinamos alguns exemplos.

Avaliação de opções usando probabilidades reais.

Lembre-se de que a fórmula de preços neutra para o risco (1) é idêntica. Com um pouco de manipulação algébrica, mostramos que o preço da opção em (10) é idêntico. A primeira equação (10) é idêntica à seguinte:

Onde . Mostramos que o conteúdo dos grandes parênteses em (11) é o mesmo. Então (11) é idêntico a. Com base na fórmula de preços neutra em termos de risco (1), os dois primeiros termos dentro dos parênteses em (11) podem ser reescritos como:

Denote o conteúdo dentro dos parênteses em (11) por, temos a seguinte derivação:

A derivação acima mostra que o conteúdo dentro dos grandes parênteses em (11) é idêntico. Isso significa que (10) é idêntico. Portanto, não é necessário usar a probabilidade real do preço das ações e a taxa de desconto real para calcular o preço da opção. Quando fazemos, sabemos que o resultado é o mesmo que usar o método de tarifação neutro em termos de risco.

Agora examinamos exemplos para ilustrar o ponto em que a abordagem de preços e avaliação de risco neutro usando probabilidades verdadeiras e taxa de desconto verdadeira produzem o mesmo preço de opção. Tomamos dois exemplos de postagens anteriores e comparamos as duas abordagens de avaliação.

Este é o Exemplo 1 na postagem # 4 no modelo de preço da opção binomial. O exemplo é o preço de uma opção de compra de ações de 1 ano com preço de exercício de US $ 55. Para os outros detalhes deste exemplo, consulte o Exemplo 1 na outra publicação. Preço desta opção de compra, supondo que a taxa de retorno anual esperada do estoque seja de 12%. Compare esse preço com o preço neutro em termos de risco.

O seguinte é a árvore binomial obtida usando o preço de risco neutro.

Exemplo 1: avaliação de opções usando preços neutros em termos de risco.

O seguinte mostra o cálculo da probabilidade associada à taxa esperada de retorno de estoque 0,12.

Em seguida, encontre a taxa de retorno da opção em cada nó. Como as composições do portfólio de replicação são diferentes em todos os nós, a taxa de retorno da opção é diferente.

0.305372077 (no nó para preço de ações)

0.427034172 (no nó para preço da ação)

0.324898989 (no nó inicial)

Agora estamos prontos para calcular o valor da opção em cada nó.

Observe que o preço da opção produzido a partir da abordagem alternativa é o mesmo que a abordagem neutra ao risco. A seguinte árvore binomial mostra todos os resultados.

Exemplo 1: avaliação de opções usando probabilidades verdadeiras.

Este é o Exemplo 1 na postagem # 5 no modelo de preço da opção binomial. O exemplo 1 nessa publicação é o preço de uma opção americana de 6 meses em uma árvore binomial de 3 períodos. O preço de exercício da opção é de US $ 45. O seguinte mostra as especificidades das árvores binomiais.

O preço inicial das ações é de US $ 40. A taxa de juros anual sem risco é de 0,05. O estoque não paga dividendos. O desvio padrão contábil anualmente acumulado do retorno das ações é de 0,3.

Avalie essa opção de venda de 6 meses, supondo que a taxa de retorno anual esperada do estoque seja de 15%. Compare com os resultados do Exemplo 1 na publicação anterior.

O seguinte é a árvore binomial da publicação anterior mostrando o preço da opção com base em preços neutros em termos de risco. Uma vez que isso é para uma opção americana, é permitido o exercício inicial se for otimizado. Existem dois nós na seguinte árvore onde o exercício inicial é ótimo (o valor da opção está em negrito). Para a avaliação de opções usando probabilidades reais, o cálculo em cada nó também é uma proposição, ou seja, o valor da opção é o valor do valor esperado descontado usando probabilidades ou o valor do exercício precoce.

Exemplo 2 & # 8211; Avaliação de opções usando preços neutros em risco (de uma publicação anterior)

Os resultados de preços usando probabilidades reais serão idênticos aos resultados de preços neutros em termos de risco. Não vamos mostrar um diagrama para a árvore binomial. Em vez disso, mostramos o cálculo em alguns nós.

O seguinte mostra o cálculo da probabilidade associada à taxa esperada de retorno de estoque 0,15.

O seguinte é o cálculo no nó onde o preço das ações é de US $ 40.67225.

No nó onde o preço da ação é = 31.83598, o exercício inicial é ótimo. Não é necessário calcular o valor da opção aqui usando probabilidades verdadeiras. No entanto, é possível calcular se é desejável fazê-lo. Isso é feito resolvendo na equação (10).

No nó onde o preço das ações é de US $ 35.68528, o exercício inicial também é ótimo. Portanto, o valor da opção não é obtido por um valor esperado com desconto (probabilidade de risco neutro ou não). Agora olhamos para o nó inicial.

A prova mostrada acima e o cálculo nos dois exemplos mostram que a avaliação da opção usando probabilidades reais com base na taxa esperada de retorno do estoque não é necessária. O preço neutro em termos de risco produzirá os mesmos resultados com cálculos muito mais simples e fáceis.

Um ponto peculiar sobre avaliação de opções usando probabilidade verdadeira e taxa de desconto verdadeira que deve ser mencionada novamente. Para descontar o valor esperado da opção, precisamos encontrar a taxa de retorno da opção em cada nó. Para encontrar a taxa de retorno para a opção em cada nó, fazemos uso do portfólio de replicação e. Ao saber e podemos derivar diretamente o valor da opção. Então terminamos. A menos que o objetivo seja encontrar o retorno esperado de uma opção, a abordagem de avaliação de usar a probabilidade real e a taxa real de retorno da opção é inútil.

Pratique os problemas a serem adicionados.

O modelo binomial de preços de opções - parte 5.

Esta é a postagem # 5 no modelo de preço da opção binomial. O objetivo do post # 5:

Post # 5: Ajustar a metodologia binomial de preços de opções europeias para trabalhar para opções americanas.

O trabalho nesta publicação está confiando fortemente no trabalho no modelo de preço de opção binomial para opções européias (multiperíodo, um período e mais em um período).

A abordagem da árvore binomial das opções de preços também pode ser usada para avaliar as opções americanas. Lembre-se de que uma opção europeia só pode ser exercida no vencimento. Uma opção americana é aquela que pode ser exercida a qualquer momento durante a vida da opção. Isso significa que em uma árvore binomial, uma opção européia pode ser exercida apenas nos nós finais, enquanto uma opção americana pode ser exercida em qualquer nó se for lucrativo fazê-lo. Para uma opção americana, o valor da opção em um determinado nó é obtido comparando o valor do exercício (ou seja, o valor da opção se for exercido nesse nó) eo valor intrínseco (o valor da opção resultante do cálculo do modelo binomial ). Assim, para uma opção americana, o valor da opção em cada nó é simplesmente o maior do valor do exercício e do valor intrínseco. O processo de 3 passos a seguir resume a abordagem no preço de uma opção americana.

Avaliando uma opção americana usando uma árvore binomial de vários períodos.

Construa uma árvore binomial. Calcule os valores das opções nos últimos nós na árvore. Para uma chamada, o valor da opção no final da árvore é o preço da ação menos o preço de exercício ou $ 0, o que for maior. Para uma colocação, o valor da opção no final da árvore é o preço de exercício menos o preço das ações ou $ 0, o que for maior. A partir dos valores das opções nos nós finais, trabalhe para trás para calcular o valor da opção em nós anteriores. O valor da opção no primeiro nó é o preço da opção. Tenha em mente em cada nó, o valor da opção é o valor intrínseco (o valor calculado usando o método de fixação binomial) ou o valor do exercício, o que for maior.

O processo em três etapas é quase idêntico ao processo de avaliação de opções européia discutido no modelo binomial # 4. O ajuste é no Passo 3, permitindo exercícios iniciais em qualquer nó sempre que é vantajoso fazê-lo (para o titular da opção).

Na Etapa 3, usamos preços neutros em risco. A idéia é que o valor da opção em cada nó é a média ponderada dos valores das opções nos dois últimos nós e, em seguida, descontado com o interesse livre de risco. Os dois valores de opção (no nó superior e no nó descendente) são calculados pelas probabilidades de risco neutro da seguinte maneira:

onde é o valor da opção em um determinado nó, e é o valor da opção no movimento para cima e é o valor da opção no movimento para baixo que segue o nó em. A probabilidade neutra de risco para o movimento ascendente é:

onde é a taxa de juros anual sem risco, é o comprimento (em anos) de um período na árvore binomial e são os fatores de movimento do preço das ações e o fator de volatilidade do preço das ações. O preço do risco neutro é discutido no modelo modelo binomial # 2.

O processo de preços da árvore binomial produz resultados mais precisos quando o período da opção é dividido em muitos períodos binomiais. Assim, o modelo binomial de preços é melhor implementado no computador. A fim de tornar uma árvore binomial um modelo mais realista para o exercício inicial, é fundamental que uma árvore binomial tenha muitos períodos ao avaliar opções americanas. Assim, os exemplos aqui apresentados são apenas para fins ilustrativos.

Uma opção de venda de 6 meses americana tem as seguintes características:

O preço inicial das ações é de US $ 40. O preço de greve da opção de venda é de US $ 45. O estoque não é dividendo. O desvio padrão anual do retorno das ações é de 0,3. A taxa de juros anual sem risco é de 5%.

Preço desta opção de colocação com uma árvore binomial de 3 períodos. Compare a opção americana com a opção de venda européia, mas idêntica.

Compare as duas seguintes árvores binomiais. O primeiro é para a opção de venda americana. O segundo é para a opção de colocação europeia de outra forma idêntica.

Exemplo 1 & # 8211; os valores binomiais da árvore e da opção & # 8211; Americano colocou.

Exemplo 1 & # 8211; os valores binomiais da árvore e da opção & # 8211; Europeu colocou.

No nó onde o preço das ações é 31.83598158, o valor da opção para a opção americana está em negrito e é maior que o valor da opção na árvore para a opção européia. Isso se deve ao fato de que o exercício inicial é possível na árvore para a opção americana. Quando o exercício inicial é possível, o valor da opção de colocação nesse nó é $ 45 & # 8211; $ 31.83598158 = $ 13.16401842. Como resultado do exercício inicial em um nó, o preço da opção de venda americana é de US $ 6.0044, enquanto o preço da opção se o exercício antecipado não for permitido é de $ 5.7877.

Considere o Exemplo 3 no modelo modelo binomial # 4. Esse exemplo é o preço de uma opção de chamada européia de 6 meses em uma árvore binomial de 3 períodos. O seguinte mostra as especificações desta opção de chamada.

O preço inicial das ações é de US $ 60. O preço de greve da opção de compra é de US $ 55. O estoque não é dividendo. O desvio padrão anual do retorno das ações é de 0,3. A taxa de juros anual sem risco é de 4%.

Qual é o preço se um exercício adiantado for possível? O seguinte é a árvore binomial para a opção de chamada européia do Exemplo 3 na publicação anterior.

Exemplo 2 & # 8211; os valores binomiais da árvore e da opção & # 8211; Chamada europeia.

Observe que o exercício inicial é ideal em nenhum dos nós nessa árvore binomial. Neste exemplo, a opção de chamada americana e a opção de chamada europeia têm o mesmo preço (quando processa uma árvore binomial de 3 períodos).

Uma opção de chamada americana de 2 anos tem as seguintes características:

O preço inicial das ações é de US $ 75. O preço de greve da opção de compra é de US $ 72. O estoque paga dividendos contínuos à taxa anual de 0,06. O desvio padrão anual do retorno das ações é de 0,3. A taxa de juros anual sem risco é de 3%.

Preço desta opção de chamada em uma árvore binomial de 3 períodos. Também calcula o preço da chamada europeia com as mesmas características.

Exemplo 3 & # 8211; os valores binomiais da árvore e da opção & # 8211; Chamada americana.

Observe que o exercício inicial é ótimo no nó onde o preço das ações é de US $ 117.6114109. Se o exercício inicial não é permitido, o seguinte é a árvore binomial.

Exemplo 3 & # 8211; os valores binomiais da árvore e da opção & # 8211; Chamada europeia.

O modelo de preço da opção binomial - parte 4.

Esta é a postagem # 4 no modelo de preço da opção binomial. The purpose of post #4:

Post #4: Extend the one-period binomial option pricing calculation to more than one period.

The work in this post is heavily relying on the work in the one-period binomial option pricing model discussed in the part 1 post and in the part 2 post.

We describe how to price an option based on a multi-period binomial tree. We use a 2-period tree to anchor the discussion. Assume that the length of one period is years. Then the following 2-period binomial tree is to price a - year option (call or put). For example, if 0.25 years, then the following binomial tree is a basis for pricing a 6-month option.

The stock prices in the above binomial tree are constructed using forward prices. At the left, is the initial stock price. Then the stock prices at the end of period 1 are:

where is the annual risk-free interest rate, is the annual continuous dividend rate and is the annualized standard deviation of the continuously compounded stock return. Multiplying by adjusts the standard deviation to make the stock return appropriate for a period of length .

The stock prices at the end of period 2 are also constructed based on the idea in (1). The formula (1) takes a starting price (e. g. ) and calculates the up move, e. g. and the down move, e. g. . The same idea in (1) can then be used to build additional periods beyond the period 2.

Because the stock prices in Figure 1 are calculated by formula (1), an up move followed by a down move leads to the same stock price as a down move followed by an up move. Thus at the end of the second period. When this happens, the resulting binomial tree is called a recombining tree. When up-down move leads to a different price from a down-up move, the resulting tree is called a nonrecombining tree. When stock prices are calculated using the forward prices, the resulting binomial tree is a recombining tree.

Suppose that the binomial tree in Figure 1 models a - year option. We can compute the value of the option at each node at the end of period 2.

Figure 2 – 2-period binomial tree with option values.

The option value is $0 if it is not advantageous for the option buyer to exercise. If it is, the option value is the difference between the stock price at expiration and the strike price. For example, for a call option, if strike price is $50 and $75, then = $25. For a put option, if strike price is $50 and if $30, then $20.

Once the option values at the end of the last period are known, we can calculate the option values for the preceding periods and at time 0.

Figure 3 – 2-period binomial tree with option values.

Risk-neutral pricing is an efficient algorithm for pricing an option using a binomial tree. The option value at a given node is simply the weighted average using risk-neutral probabilities of the two option values in the next period discounted at the risk-free interest rate. The following is the risk-neutral pricing formula:

where is the option value at a given node, and is the option value at the up move and (C^*)_d$ is the option value at the down move that follow the node at . The risk-neutral probability for the up move is:

For example, in Figure 3, the option value at the node for stock price is:

Once the option values at expiration (the end of the last period in the binomial tree) are known, we can use the risk-neutral pricing formula (2) to work backward to derive the option value at the first node in the tree, which is the price of the option in question.

The process of pricing an option using a multi-period binomial tree.

The process just described can be used to price a European option based on a binomial tree of any number of periods. The process is summarized as follows:

Pricing an option using a multi-period binomial tree.

Build a binomial tree as in Figure 1. The stock prices in this tree are relative to the forward prices as shown in formula (1). Calculate the option values at the end of the last period in the tree as in Figure 2. This step is based on a comparison of the strike price and the stock prices at expiration of the option. Starting from the option values at the end of the last period, work backward to calculate the option value at each node in each of the preceding periods. One way to calculate the option value at each node is to use the risk-neutral pricing formula in (2).

We demonstrate how to extend the one-period calculation to two-period through the following two examples.

Price a one-year call option using a 2-period binomial tree. The specifics of the call option and its underlying stock are:

Initial stock price is $60. Strike price of the call option is $55. The stock is non-dividend paying. The annual standard deviation of the stock return is 0.3. The annual risk-free interest rate is 4%.

The one-year option period is divided into two periods, making one period being 6 months. Thus 0.5. This example is based on Example 4 in this previous post, which is about a 6-month call option with the same specifics as given above. Thus Example 1 here is Example 4 in the previous post with an additional 6-month period in the binomial tree.

Usually, in working a binomial tree problem, one tree diagram suffices. In order to make the procedure clear, we use three tree diagrams to demonstrate the three steps involved. Step 1 is to build the binomial tree. The following diagram is the result.

Step 1: build the binomial tree (Example 1)

The stock prices in the above binomial tree are based on the following movement factors and .

The following details the calculations for the stock prices:

60 (1.261286251) = $75.67717506.

60 (0.825197907) = $49.51187441.

1.261286251 (75.67717506) = $95.45058041.

0.825197907 (75.67717506) = $62.44864645.

0.825197907 (49.51187441) = $40.85709513.

Step 2 is to obtain the option values at expiration. For a European call option, the option value at expiration is the mximum of $0 or the stock price less the strike price. Simply compare the strike price of $55 with the stock prices at the end of the binomial tree. Any node with stock price above the strike price $55 has positive option value. The following tree shows the result.

Step 2: add option values at expiration (Example 1)

Step 3 is to work backward from the end of the tree to the front of the tree. For example, calculate the option value at each node in period 1 by using the option values of the associated up and down nodes in period 2. We take the approach of using risk-neutral pricing described in (2). The following diagram shows the results.

Step 3: work backward to obtain option price (Example 1)

As mentioned above, to calculate the option values, we use risk-neutral probabilities:

The following computes the option values:

The diagram in Step 3 also shows the replicating at each node. For example, the replicating portfolio at the node for is computed as follows:

This is Example 5 in this previous post. Example 5 in that post is a 3-month put option. We now price the same 3-month put option using a 2-period binomial tree. Thus the 3-month option period is divided into two periods. The following gives the specifics of this put option:

Initial stock price is $40. Strike price of the put option is $45. The stock is non-dividend paying. The annual standard deviation of the stock return is 0.3. The annual risk-free interest rate is 5%.

We carry out the same three steps as in Example 1. The following diagram captures the results of all three steps.

Example 2: binomial tree for pricing put option.

Note that the put option calculated in Example 5 in this previous post using one binomial period is.

$5.3811 whereas the put option price from a 2-period binomial tree here is $5.56462. It is not uncommon for binomial option prices to fluctuate when the number of periods is small. When is large, the binomial price will stabilize.

Note that the option period is 3-month long (a quarter of a year). Thus one period is 0.25/2 = 0.125 of a year. To build the binomial tree, the following shows the calculation for the stock prices and .

40 (0.905003908) = $36.20015632.

36.20015632 (1.118866386) = $40.50313807.

As in Example 1, we perform risk-neutral pricing. The following shows the calculation of the option values.

The diagram in Example 2 also shows the replicating at each node. For example, the replicating portfolio at the node for is computed as follows:

Binomial trees with more than two periods.

Since one or two-period binomial trees are unlikely to be accurate model of stock price movements, option prices based on the binomial model with one or two periods are unlikely to be accurate. It is then necessary to use more periods in the binomial tree, i. e. divide the time to expiration into more periods to create more realistic model of stock price movements. Therefore realistic applications of the binomial option pricing model require the use of software.

Another point we would like to make is that using more periods in the binomial tree requires no new concepts or new methods. The same three steps described above are used – build the binomial tree, calculate the option values at expiration and work backward to derive the option price. The calculation at each node still uses the same one-period binomial option formulas. It is just that there are more periods to calculate. Hence realistic binomial option pricing is a job that should be done by software. To conclude this post, we present an example using a three-period binomial tree.

Like Example 1 above, this example is based on Example 4 in this previous post. Example 4 in that post is to price a 6-month call option. In this example, we price the same call options using a 3-period binomial tree. All other specifics of the call option and the underlying stock remain the same. They are repeated here:

Initial stock price is $60. Strike price of the call option is $55. The stock is non-dividend paying. The annual standard deviation of the stock return is 0.3. The annual risk-free interest rate is 4%.

Now one period is 2-month long. Hence in the calculation 2/12 = 0.16667. The results of the 3-period binomial calculation are show in the following two trees. The first one displays the stock prices and the option values. The second one displays the replicating portfolios (the hedge ratio and the amount of borrowing ) at each node.

Example 3 – the binomial tree and option values.

Example 3 – Replicating portfolios.

The call option price using one-period tree in Example 4 in the previous post is $9.06302. The 3-period option price using a 3-period tree is $8.26318. Once again, there is no need to be alarmed. Binomial option prices can wildly fluctuate when the number of periods is small. The example here is only meant to illustrate the calculation in binomial option model.

Just to be clear on the process, the stock prices in the upper two nodes in the third period are calculated as follows:

77.68225631 (1.137850725) = $88.39081165.

77.68225631 (0.890646371) = $69.18741967.

The option value at the node is calculated as follows using risk-neutral probabilities:

For practice problems on how to calculate price of European option using multiperiod binomial tree, go here in the practice problem companion blog.

The binomial option pricing model – part 3.

This is post #3 on the binomial option pricing model. The previous two posts (post #1 and post #2) discuss the calculation and issues for the one-period binomial option pricing model. The purpose of post #3:

Post #3: Discuss the role of Delta ( ) in the replicating portfolio for an option. This number is also called the hedge ratio. In this post, the hedge ratio is discussed in the context of the one-period binomial option model.

Hedging a short option position – two examples.

Suppose that a market maker sells an option (on a stock). He is on the hook to sell (or buy) shares of the stock if the call (or put) buyer decides to exercise (i. e. when the share price of the underlying stock is above (or below) the strike price). He can hedge the risk of a short option position by creating a long synthetic option, i. e. creating a portfolio that replicates the same payoff of the option he sold. This replicating portfolio consists of shares of the stock and an appropriate amount of lending or borrowing. The is also called the hedge ratio and is the number of shares in the replicating portfolio to hedge away the risk from selling an option. Let’s discuss through two examples.

Suppose that the future prices for a stock are modeled with a one-period binomial tree with 1.3 and 0.8 and having a period of 6 months. The current price of the stock is $50. The following is the binomial tree shows the future state of the stock prices.

The stock pays no dividends. The annual risk-free interest rate is 4%. Determine the price of a European 55-strike call option on this stock that will expire in 6 months. What is the replicating portfolio for this call option.

This is Example 1 in the post #1 on binomial model. At the end of 6 months, the stock price is either $65 or $40 and the value of the option is either $10 (if stock price goes up) or $0 (if price goes down). According to the calculation in the previous post, the replicating portfolio consists of holding 0.4 shares of the stock and $15.6832 in borrowing. The price of the call option is 50(0.4) – 15.6832 = $4.3168.

The market maker makes $4.3168 per call option sold. But the market maker is also at risk of losing $10 (selling a share at $55 for a share that is worth $65) when the call buyer decides to exercise. To hedge this risk, the market maker can buy a synthetic call option that replicates exactly the call option he sold.

In this example, the hedge ratio is 0.4, which is the ratio of the range of the values of the call to that of the stock across two possible outcomes. In this example, the calculation of is:

For every call option written by the market maker, 0.4 shares of stock must be held to hedge away risk. The reason is that the strategy of holding 0.4 shares and the borrowing of $15.6832 has the same payoff as the call option as indicated by the following two equations. Note that $16.00 is the end of period value of $15.6832.

The above two equations show the payoff of the replicating portfolio of holding 0.4 shares and the borrowing of $15.6832, which is exactly the same as the payoff of the call option in the example. By selling a call option in this example, the market maker is at risk of losing $10 when the stock price goes up. He can offset the loss by creating a replicating portfolio that gains $10. So a market maker can hedge away the risk from selling a call by buying a synthetic call (the replicating portfolio).

In Example 1, we see that the hedge ratio is positive and is the number of stocks to hold to hedge away the risk of selling a call option. Now we consider for put options. We analyze the put option in the Example 1 of the post #1 on binomial model. The characteristics of the stock are as in Example 1. The stock prices are modeled with the same 6-month binomial tree as in Example 1, which is repeated here:

The stock pays no dividends. The annual risk-free interest rate is 4%. Consider a European 45-strike put option on this stock that will expire in 6 months.

At the end of 6 months, the value of the option is either $0 (if stock price goes up) or $5 (if price goes down). According to the calculation in the previous post, the replicating portfolio consists of holding -0.2 shares of the stock and $12.74258275 in lending. The price of the call option is 50(-0.2) – 12.74258275 = $2.742582753.

The market maker makes $2.74258 per put option sold. But the market maker is also at risk of losing $5 (buying a share at $45 for a share that is worth only $40) when the put buyer decides to exercise. To hedge this risk, the market maker can buy a synthetic put option that replicates exactly the put option he sold.

In this example, the hedge ratio is -0.2, which is the ratio of the range of the values of the put to that of the stock across two possible outcomes. In this example, the calculation of is:

The hedge ratio is negative. So instead of buying stock, like in Example 1, the market maker holds a short position in the stock, i. e. enter into a short sale for the stock. This means that the market maker borrows the shares and sell the borrowed shares for cash. A short position is a bearish position, i. e. investor enters into a short position in the hope that the price of the asset will fall. In this example, the market maker uses a short stock position because the payoff of a short stock position is exactly opposite of the payoff of a short put, i. e. the loss experienced by the market maker in the short put position is exactly offset by the gain in the short stock position.

Back to the example. For every put option written by the market maker, 0.2 shares of stock must be sold short to hedge away risk. The reason is that the strategy of shorting 0.2 shares and the lending of $12.74258 has the same payoff as the put option as indicated by the following two equations. Note that $13.00 is the end of period value of $12.74258.

The above two equations show the payoff of the replicating portfolio of shorting 0.2 shares and the lending of $12.74258, which is exactly the same as the payoff of the put option in the example. By selling a put option in this example, the market maker is at risk of losing $5 when the stock price goes down. He can offset the loss by creating a replicating portfolio that gains $5. So a market maker can hedge away the risk from selling a put by buying a synthetic put (the replicating portfolio).

Here’s the observation from the above two examples. From the perspective of a market maker, the hedge ration is the number of shares of stock required to hedge the price risk from selling an option. When selling a call option, the hedge ratio is positive, indicating that the marker maker is to hedge away the risk of a short call by going long on shares of stock with an appropriate amount in borrowing. When selling a put option, the hedge ratio is negative, indicating that the marker maker is to hedge away the risk of a short put by going short on shares of stock with an appropriate amount in lending.

The initial stock price in Example 1 and Example 2 is $50. In Example 1, the strike price of the call option is $55. Given the price position, there is no incentive for the call option buyer to exercise when the stock price is $50. The strike price of the put option in Example 2 is $45. So there is no incentive for the put option buyer to exercise when the stock price is $50. In other words, both options are out of the money. When can we say about the hedge ratio when the options are increasingly in the money? For the call option in Example 1, what if the initial stock price is not $50 but is higher, say $55, $60, $65, or $70? For these higher initial stock prices, the option will have an increasingly greater chance of being in the money. What can we say about ? We examine these scenarios in Example 3. In Example 4, we will examine similar scenarios for the put option in Example 2.

For the call option in Example 1, determine the replication portfolio and calculate the price of the call option as the initial stock price varies from $50, $55, $60, $65, to $70. The results are in the following table.

Table 1 – Call option hedge ratio when initial stock prices are increasing.

In Table 1, the initial stock prices are increasingly higher than the strike price. This means that the call option is increasingly in the money. As a result, the hedge ratio is increasingly becoming 1.0. To explain this phenomenon, let’s take the point of view of a market maker. Suppose that a market maker has sold a 55-strike call option. If the initial stock price is much higher than the strike price, it is much more likely that the option will finishes in the money. The market maker must then buy more shares initially in order to be able to cover the obligation of the short call position at expiration. Thus the hedge ratio increases as the initial stock price increases. When is 1, the option is all but certain to expire in the money that the market maker has to hedge by holding one share for one option.

For the put option in Example 2, determine the replication portfolio and calculate the price of the put option as the initial stock price varies from $50, $45, $40, $35, to $30. The results are in the following table.

Table 2 – Put option hedge ratio when initial stock prices are decreasing.

In Table 2, the movement goes in the opposite direction. The initial stock prices are decreasingly lower than the strike price. This means that the put option is increasingly in the money. As a result, the hedge ratio is increasingly becoming -1.0. To explain this phenomenon, we again take the point of view of a market maker. Suppose that a market maker has sold a 45-strike put option. If the initial stock price is much lower than the strike price, it is much more likely that the put option will finish in the money. The market maker must then short more shares initially in order to be able to cover the obligation of the short put position at expiration. Thus the hedge ratio decreases as the initial stock price decreases. When is -1, the put option is all but certain to expire in the money that the market maker has to hedge by shorting one share for one option.

The discussion of in this post is from a market maker’s point of view. It is the number of shares a market maker needs to buy or short in order to cover the obligation of a short option position. When the initial price is sufficiently far from the strike price (when the option is extremely likely to expire in the money), the market maker must buy or short the stock on a one share to one option basis.

Practice problems for this post are found in here.

The binomial option pricing model – part 2.

This is post #2 on the binomial option pricing model. In part 1, we derive the one-period binomial option pricing formulas. The purpose of post #2:

Post #2: Discuss the underlying issues in the one-period model – por exemplo. arbitrage in the binomial tree and risk-neutral pricing.

The one-period binomial option pricing formulas.

For easier reference, we list out the option pricing formulas derived in part 1. The binomial tree models the stock price at expiration of the option.

The following is a tree showing the value of the option at expiration.

In formulas (1), (2) and (4), it seems that we choose the up factor and the down factor arbitrarily. It turns out that the assumed stock price factors and should be set in such a way that arbitrage opportunities are not possible. The factors and must follow the following relationship.

Multiplying (5) by the initial stock price yields the following:

The middle term in (6) is the forward price on the stock. The relationship (6) indicates that whatever the values of the up factor and the down factor are, the end of period upped stock price must be larger than the forward price and the downed stock price must be below the forward price. Violation of this requirement will yield arbitrage opportunities.

To see that arbitrage opportunities will arise if (5) is violated, suppose that . Multiply by the initial stock price produces . Since , we have the following:

Based on the above inequality (a), the arbitrage opportunity: short shares of stock (borrow that many shares and sell) and lend (the short sales proceeds). At time , you need to buy back 1 share at price . The value of the bond is . What occurs at time is that you pay to buy back 1 share and receive . Based on (a), both and , which mean risk-free profit. So it must be the case that .

Suppose that . This also leads to arbitrage opportunities. Multiplying by the initial stock price produces the following:

The arbitrage opportunity: borrow at the risk-free rate and use the borrowed fund to buy shares of stock. The relationship (b) says that regardless of the stock price at time (up or down), the stock price is always greater than the amount that has to be repaid. Thus there are risk-free profits in either case: and .

Thus relationship (5) must hold for the stock price movement factors and . In fact, one way to set the factors and is to increase or decrease a volatility adjustment to the risk-free return factor . The resulting and are:

For more information about (7), see part 1.

At first glance, the pricing of an option on stock ought to require the use of a probability model. The price of the option depends on the price of the stock at expiration of the European option. The stock price at the end of the option period is uncertain. Thus to price the option, we need to find a way to characterize the uncertainty of the stock prices at expiration. Since the future stock prices are random, it is natural to think that we need a probability model to describe the uncertain stock prices. The above derivation of the binomial option pricing model shows that probabilities of the future stock prices are not necessary. All we use is the binomial assumption of stock prices. The trick is then to determine a replicating portfolio of holding shares and lending a dollar amount . Because the replicating portfolio has the same payoff as the option, the movement of the stock prices (the up and the down prices) is irrelevant to the calculation of the price of the option.

However, there is a probabilistic interpretation of the option price in (4). Note that the terms and in formula (4) sum to 1.0. The two terms are also positive because of relationship (5). So they can be interpret as probabilities. So we have:

Then pricing formula (4) becomes:

The formula is called the risk-neutral probability. From a calculation standpoint, the risk-neutral probability is another way to calculate the price of an option in the one-period binomial model. Simply calculate the risk-neutral probabilities. Then use them to weight the option values and (and also discount to time 0).

If and are interpreted as probabilities, then the pricing formula (5) says that the price of an option is the expected value of the end of period options values discounted at the risk-free rate. On the other hand, let’s use and to compute the expected value of the stock prices.

The last term in the above derivation is , which is the forward price on a stock that pays continuous dividends (derived in this previous post). Thus if we use and to calculated the expected value of the stock prices, we get the forward price. This is why and are called risk-neutral probabilities since they are the probabilities for which the expected value of the stock prices is the forward price. In particular, is the risk-neutral probability of an increase in the stock price.

We conclude this post with an example on using risk-neutral probabilities to compute option prices. This example is Example 3 in part 1.

Suppose that the future prices for a stock are modeled with a one-period binomial tree with volatility 30% and having a period of 6 months. The current price of the stock is $60. The stock pays no dividends. The annual risk-free interest rate is 4%. Use risk-neutral probabilities to price the following options.

A European 60-strike call option on this stock that will expire in 6 months. A European 60-strike put option on this stock that will expire in 6 months.

First calculate the and , and the stock prices at expiration:

60 (1.261286251) = $75.67717506.

60 (0.825197907) = $49.51187441.

Now the risk-neutral probabilities:

Then the option prices are:

Practice problems can be found in in this blog post in a companion blog.

The binomial option pricing model – parte 1.

This is post #1 on the binomial option pricing model. Even though this is post #1, there are two previous posts with examples to illustrate how to price options using the one-period binomial pricing model (example of call and example of put). The purpose of post #1:

Post #1: Describe the option pricing formulas in the one-period binomial model.

The one-period binomial option pricing model.

We first consider the pricing of options on stock. The most important characteristic of the binomial option pricing model is that over a period of time, the stock price is assumed to follow a binomial distribution, i. e. the price of the stock can only take on one of two values – an upped value and a downed value. In this post, we describe how to price an option on a stock using this simplifying assumption of stock price movement.

Consider a stock with the following characteristics:

The current share price is . If the stock pays dividends, we assume the dividends are paid at an annual continuous rate at . At the end of a period of length (in years), the share price is either or , where is the up factor and is the down factor. The factor can be interpreted as one plus the rate of capital gain on the stock if the stock goes up. The factor can be interpreted as one plus the rate of capital loss if the stock goes down. If , the end of period share price is or . This is to reflect the gains from reinvesting the dividends. Of course if , the share prices revert back to the previous bullet point.

The end of period stock prices are shown in the following diagram, which is called a binomial tree since it depicts the 2-state stock price at the end of the option period.

Now consider a European option (either call or put) on the stock described above. When the stock goes up, we use to represent the value of the option. When the stock goes down, we use to represent the value of the option. The following is the binomial tree for the value of the option.

The key idea to price the option is to create a portfolio consisting of shares of the stock and the amount in lending. At time 0, the value of this portfolio is . At time (the end of the option period), the value of the portfolio is.

Time value of the replicating portfolio.

This portfolio is supposed to replicate the same payoff as the value of the option. By equating the portfolio payoff with the option payoff, we obtain the following linear equations.

There are two unknowns in the above two equations. All the other items – stock price , dividend rate , and risk-free interest rate – are known. Solving for the two unknowns and , we obtain:

Once the replication portfolio of shares and in lending is determined, the price of the option (the value at time 0) is:

After plugging in (1) and (2) into (3), the option price formula becomes:

The price of the option described above is , either given by formula (3) or formula (4). One advantage of formula (4) is that it gives the direct calculation of the option price without knowing and . Of course, if the goal is to create a synthetic option for the purpose of hedging or risk management, it will be necessary to know the make up of the replicating portfolio.

The calculated in (1) is also called the hedge ratio and is examined in greater details in in this subsequent post.

Let’s walk through a quick example to demonstrate how to apply the above formulas. Suppose that the future prices for a stock are modeled with a one-period binomial tree with 1.3 and 0.8 and having a period of 6 months. The current price of the stock is $50. The stock pays no dividends. The annual risk-free interest rate is 4%.

Determine the price of a European 55-strike call option on this stock that will expire in 6 months. Determine the price of a European 45-strike put option on this stock that will expire in 6 months.

The two-state stock prices are $65 and $40. The two-state call option values at expiration are $10 and $0. Apply (1) and (2) to obtain the replicating portfolio and then the price of the call option.

The replicating portfolio consists of holding 0.4 shares and borrowing $15.68317877.

Call option price = $4.316821227.

The 2-state put option values at expiration are $0 and $5. Now apply (1) and (2) and obtain:

The replicating portfolio consists of shorting 0.2 shares and lending $12.74258275.

Put option price = $2.742582753.

Example 1 is examined in greater details in this subsequent post.

Two more examples are in these previous posts:

What to do if options are mispriced.

What if the observed price of an option is not the same as the theoretical price? In other words, what if the price of a European option is not given by the above formulas? Because we can always hold stock and lend to replicate the payoff of an option, we can participate in arbitrage when an option is mispriced by buying low and selling high. The idea is that if an option is underpriced, then we buy low (the underpriced option) and sell high (the corresponding synthetic option, i. e. the replicating portfolio). On the other hand, if an option is overpriced, then we buy low (the synthetic option) and sell high (the overpriced option). Either case presents risk-free profit. We demonstrate with the options in Example 1.

Suppose that the price of the call option in Example 1 is observed to be $4.00. Describe the arbitrage. Suppose that the price of the call option in Example 1 is observed to be $4.60. Describe the arbitrage.

For the first scenario, we buy low (the option at $4.00) and sell the synthetic option at the theoretical price of $4.316821227. Let’s analyze the cash flows in the following table.

Table 1 – Arbitrage opportunity when call option is underpriced.

The above table shows that the buy low sell high strategy produces no loss at expiration of the option regardless of the share prices at the end of the option period. But the payoff at time 0 is certain: $4.316821227 – $4.00 = $0.316821227.

For the second scenario, we still buy low and sell high. This time, buy low (the synthetic call option at $4.316821227) and sell high (the call option at the observed price of $4.60). Let’s analyze the cash flows in the following table.

Table 2 – Arbitrage opportunity when call option is overpriced.

The above table shows that the buy low sell high strategy produces no loss at expiration of the option regardless of the share prices at the end of the option period. But the payoff at time 0 is certain: $4.60 – $4.316821227 = $0.283178773.

These two examples show that if the option price is anything other than the theoretical price, there are arbitrage opportunities and there is risk-free profit to be made.

In the binomial tree in Figure 1, we assume that the share price at expiration is obtained by multiplying the original share price by the movement factors of and . The binomial tree in Figure 1 may give the impression that the choice of the movement factors and is arbitrary as long as the up factor is greater than 1 and the down factor is below 1. In the next post, we show that and have to satisfy the following relation, else there will be arbitrage opportunities.

Thus the choice of and cannot be entirely arbitrary. In particular the relation (5) shows that the future stock prices have to revolve around the forward price.

The purpose pf the factors and in the binomial tree is to incorporate uncertainty of the stock prices. In light of (6), we can set and by applying some volatility adjustment to . We can use the following choice of and to model the stock price evolution.

is the annualized standard deviation of the continuously compounded stock return,

is the standard deviation of the continuously compounded stock return over a period of length .

The standard deviation measures how certain we are that the stock return will be close to the expected return. There will be a greater chance of a return far from the expected return if the stock has a higher . If , then there is no uncertainty about the future stock prices. The formula (7) shows that when , the future stock price is precisely the forward price on the stock. When the binomial tree is constructed using (7), the tree will be called a forward tree.

A note on calculation. If a problem does not specific and but assume a standard deviation of stock return , then assume that the binomial tree is the forward tree. We now use a quick example to demonstrate how to price an option using the forward tree.

Everything is the same as Example 1 except that the up and down stock prices are constructed using the volatility 30% (the standard deviation ). The following calculates the stock prices at expiration of the option.

Using formulas (1), (2) and (3), the following shows the replicating portfolio and the call option price. Note that the binomial tree is based on a different assumption than that in Example 1. The option price is thus different than the one in Example 1.

The replicating portfolio consists of holding 0.369847654 shares and borrowing $14.95770971.

Call option price = $3.534672982.

The following shows the calculation for the put option.

The replicating portfolio consists of shorting 0.171529678 shares and lending $10.60320232.

Put option price = $2.026718427.

We present two more examples in illustrating the calculation in the one-period binomial option model where the stock prices are modeled by a forward tree.

The stock price follows a 6-month binomial tree with initial stock price $60 and 0.3. The stock is non-dividend paying. The annual risk free interest rate is 4%. What is the price of a 6-month 55-strike call option? Determine the replicating portfolio that has the same payoff as this call option.

We will use risk-neutral probabilities to price the option.

75.67717506 – 55 = 20.67717506.

The replicating portfolio consists of holding 0.79025 shares and borrowing $38.352.

The stock price follows a 3-month binomial tree with initial stock price $40 and 0.3. The stock is non-dividend paying. The annual risk free interest rate is 5%. What is the price of a 3-month 45-strike put option on this stock? Determine the replicating portfolio that has the same payoff as this put option.

The calculation is calculated as in Example 3.

45 – 34.861374 = $10.138626.

The replicating portfolio consists of shorting 0.831269395 shares and lending $38.63188995.

The discussion in this post is only the beginning of the binomial pricing model. The concepts and the formulas for the one-period binomial option model are very important. The one-period model may seem overly simplistic (or even unrealistic). One way to make it more realistic is to break up the one-period into multiple smaller periods and thus produce a more accurate option price. The calculation for the multi-period binomial model is still based on the calculation for the one-period model. Before moving to the multi-period model, we discuss the one-period model in greater details to gain more understanding of the one-period model.

Practice problems can be found in the companion problem blog via the following links:

Pricing a put option – an example.

This post is a continuation of the example discussed in this previous post, which gives an example to illustrate the pricing of a call option using the binomial option pricing model. This post illustrates the pricing of a put option. Links to practice problems are found at the bottom of the post.

The following gives the information about the stock:

The stock of XYZ company is currently selling for $50 per share. The price per share 1 year from now is expected to increase to $65 or to decrease to $40. The stock pays no dividends.

Consider a put option with the following specifics:

The underlying asset of the put option is the XYZ stock. The strike price is $55. The option will expire in one year. The option is assumed to be a European option, i. e. it can be exercised only at expiration.

The annual risk-free interest rate is 2%. There is a benefit to the buyer of the option described above. If the price of the stock goes down to $40 at the end of the 1-year period, the buyer of the put option has the right to sell a share of XYZ for $55 ($15 higher than the market price). If the price of the stock goes up to $65 at the end of the 1-year period, exercising the option would mean selling a share at $55 which is $10 below the market price, but the put option owner can simply walk away. The put option owner sells the stock only when he makes money. Qual seria o preço justo de ter esse privilégio? What is the fair price of this put option?

In this example, the current stock price is $50 and the stock price can be only one of the two possible values at the end of the option contract period (either $65 or $40). The following diagram shows the future state of the stock prices.

The assumption of the 2-state stock prices in 1 year simplifies the analysis of the put option. The value of the put option at the end of 1 year is either zero or $15 (=55-40). Note that when the share price at the end of the 1-year contract period is higher than the strike price of $55, the put option expires worthless. The following diagram shows the value of the put option.

In the above diagram, the value of the put option at the end of 1-year is either $0 or $15. The value of the option at time 0 is , which is the premium of the put option in this example. Our job here is to calculate . The key to finding the value of the option is to compare the payoff of the put to that of a portfolio consisting of the following investments:

Short 0.6 shares of XYZ. Lend $38.2277 at the risk-free rate.

The idea for setting up this portfolio is given below. For the time being, we take the 0.6 shares and the lending of $38.2277 as a given. Note that $38.2277 is the present value of $39 at the risk-free rate of 2%. Let’s calculate the value of Portfolio B at time 0 and at time 1 (1 year from now). The following diagram shows the calculation.

Note that the payoff of the put option is identical to the payoff of Portfolio B. Thus the put option in this example and Portfolio B must have the same cost. Since Portfolio B costs $8.2277, the price of the option must be $8.2277. The Portfolio B of 0.6 shares of stock in short sales and $15.683 in lending is a synthetic put since it mimics the put option described in the example. O portfólio B é chamado de portfólio de replicação porque replica o retorno da opção de venda em questão.

In deriving the cost of the put option of $8.2277, we rely on the idea that if two investments have the same payoff, they must have the same cost. This idea is called the law of one price, which is a commonsensical idea and is also an important principle in derivative pricing. If the law of one price is violated, in particular if the price of the put option discussed here is not $8.2277, there would be arbitrage opportunities that can be exploited to gain risk-free profit.

E se a lei de um preço for violada? For example, what if the option were selling for a higher price (say $8.50)? If the price of the replicating portfolio is less than the price of the option, then we can “buy low and sell high” (i. e. buy the replicating portfolio and sell put option) and obtain a risk-free profit of $0.2723. The arbitrage is to buy the synthetic call (Portfolio B) at $8.2277 and sell the put option at $8.50. The following table shows the Year 1 cash flows of this arbitrage opportunity.

Table 1 – Arbitrage opportunity when put option is overpriced.

The above table shows that buying a synthetic put (shorting 0.6 shares and lending $38.2277) and selling a put will have no loss at the end of 1 year. Yet, the time 0 cash flow is $0.2723 (=8.50 – 8.2277), and is thus a risk-less profit.

If the option is underpriced, then we can still buy low and sell high (in this case, buy put option and sell the replicating portfolio) and obtain risk-free arbitrage profit. For example, let’s say you observe a put option price of $8.00. Then the arbitrage opportunity is to buy the put option at $8.00 and sell a synthetic put (Portfolio B) at $8.2277. The time 0 payoff is $0.2723, which is a risk-less arbitrage profit. The following table shows the Year 1 cash flows.

Table 2 – Arbitrage opportunity when put option is underpriced.

The put option price of $8.2277 is derived by showing that the replicating portfolio has the same payoff as the put option. How do we know that the replicating portfolio consists of shorting 0.6 shares and lending of $38.2277?

In general, the replicating portfolio of a European option consists of shares of the stock and the amount in lending at time 0 (borrowing if negative). By equating the payoff of the replicating portfolio and the payoff of the put option in this example, we have the following equations:

Solving these two equations, we obtain and . Therefore, the replicating portfolio for the put option in this example consists of shorting 0.6 shares of the stock and $38.2277 in lending. The net investment for the replicating portfolio is $8.2277 (=-0.6(50)+38.2277). Because there are only two data points in the future stock prices, the option premium is a linear function of and . The following is the premium of the call (or put) option using the one-period binomial tree.

where is the stock price at expiration. The above formula gives the cost of the portfolio replicating the payoff of a given option. It works for call option as well as for put option. The above example shows that for put options, is negative and is positive (i. e. shorting stock and lending replicate the payoff of a put). The number has a special interpretation that will be important in subsequent discussion of option pricing. It can be interpreted as the sensitivity of the option to a change in the stock price. For example, if the stock price changes by $1, then the option price, , changes by the amount . In other words, is the change in the option price per unit increase in the stock price.

The put-call parity relates the price of a European call with a European put that has the same strike price and the same time to expiration. The following is a call on XYZ stock that is compatible to the put described above.

The underlying asset of the call option is the XYZ stock. The strike price is $55. The option will expire in one year. The option is assumed to be a European option, i. e. it can be exercised only at expiration.

The previous post shows that the premium of this call option is $4.316821227. The put-call parity also derive the same cost for the put.

The examples discussed in this post and in the previous post have value even though the examples may seem like an extreme simplification. These two examples are an excellent introduction to the subject of option pricing theory. The one-period example can be extended to a multi-period approach to describe far more realistic pricing scenarios. For example, we can break a year into many subintervals. We then use the 2-state method to describe above to work backward from the stock prices and option values of the last subinterval to derive the value of the replicating portfolio.

Practice problems can be found in the companion problem blog via the following links: